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Numeri Magici in Natura

Dalla sequenza di Fibonacci al numero Aureo: le meraviglie della matematica trovano vita nelle mirabili forme naturali

Numeri Magici in Natura

Galileo Galilei davvero non sbagliò quando, quasi quattro secoli or sono, nella sua celebre opera "Il Saggiatore" (1623) scrisse: "... la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto".

In effetti è evidente che l'universo si esprima in un linguaggio squisitamente matematico attraverso leggi fisiche alle quali soggiacciono i fenomeni naturali che osserviamo (sebbene molte dinamiche ci rimangano ancora oscure), sebbene le forme della natura siano ben lungi dall'assomigliare a figure geometriche perfette. Eppure dietro al senso di bellezza ed armonia che sanno suscitare, a ciò che è esteticamente sublime, inatteso e talvolta spiritualmente mistico si celano ancora eleganti e misteriose leggi matematiche e geometriche.

Cristalli di ghiaccio e spirali: meraviglie di natura

Qualche anno fa mi trovavo a sciare in Valle d'Aosta. Era una giornata grigia e talmente fredda che neanche il cielo pareva sentirsela di aprirsi per far cadere la neve. In compenso piovevano fitti ma minuscoli granelli bianchi che, sospinti come piccoli proiettili dalla discesa sugli sci, martoriavano il volto come spilli.

Spesso siamo così distratti e assorti nei nostri pensieri che non prestiamo attenzione a ciò che ci circonda (per inciso credo che sia proprio questa la principale virtù che abbiamo perduto nel corso della nostra evoluzione). Tuttavia quel giorno, durante il percorso sulla seggiovia, nell'istante in cui il mio sguardo si è soffermato sulle piccole palline candide che punteggiavano il mio piumino nero, ho potuto scorgere la loro forma: erano perfetti e meravigliosi cristalli di ghiaccio.

Quel rigido giorno di febbraio piovevano cristalli dal cielo a milioni, a miliardi, e gli occhi di chiunque potevano cogliere la loro bellezza. I miei l'hanno fatto.

Si dice che nessuno di essi sia uguale all'altro; e anche se la statistica potrebbe porre un prudente veto su tale affermazione, resta il fatto che è pressochè impossibile scorgerne di uguali, sebbene possano essere raggruppati in categorie di forme. Non esiste artista che potrebbe partorire dalla sua mente geometrie più belle e suggestive, eppure la loro genesi segue rigidi schemi matematici; eppure l'estroso architetto che li assembla è qualche ammasso informe di nubi, destreggiandosi su sottili equilibri di temperatura e umidità dell'aria.

Alcune delle sublimi forme che esibiscono i fiocchi di neve


Galeotta è la preziosa molecola dell'acqua, che nella sua fase ghiacciata si sbizzarrisce in inaspettati capolavori artistici e non solo quando piove dal cielo, ma anche quando si dispone su superfici fredde come i parabrezza delle auto, per esempio. Per qualche buona ragione essa non si distribuisce uniformemente come un sottile manto lattiginoso, ma forma una giungla surreale di minuscole felci frastagliate.


Ma a quanto pare gli spigoli non sono le uniche vanità di madre natura, che si diletta anche con sinuose curve come le spirali. La più affascinante la troviamo dentro le nostre cellule ed è il Codice Genetico, il motore della vita come la conosciamo, ma se ne trovano di sublimi espressioni pressochè ovunque.

Il Nautilo, per esempio è un mollusco marino superstite dell'antichissima era Paleozoica, scampato alla più colossale estinzione di massa di tutti i tempi allorchè oltre il 90% delle specie capitolarono per cause ancora non chiare. Questo curioso organismo costruisce la sua dimora calcarea secondo quella che in matematica viene chiamata Spirale Logaritmica. Le spirali sono curve piane che girano intorno ad un punto centrale spostandosi sempre più all'esterno via via che si procede. Quelle in cui la distanza tra una spira e la successiva è costante si chiamano Spirali di Archimede, e ne sono ottimi esempi conchiglie altrettanto vetuste come le ammoniti, per esempio, purtroppo non abbastanza fortunate da aver resistito alla crisi Permiana e giunte a noi solo sottoforma di fossili. Quando invece la distanza tra le spire aumenta in maniera esponenziale raddoppiando le dimensioni in un intervallo determinato, la spirale si chiama logaritmica, ed abbiamo forme come il Nautilo

In alto è visibile la conchiglia del Nautilus (organismo tuttora esistente) strutturata secondo una spirale logaritmica.

Alla sua forma si contrappone la spirale di Archimede utilizzata dalle Ammoniti (in basso) purtroppo estinte alla fine del periodo Paleozoico

Tale curva fu chiamata anche equiangola dal matematico e filosofo Cartesio nel 1638, perché tracciando una linea dritta dal polo ad un suo punto qualsiasi, questa la intercetta formando sempre lo stesso angolo. E ancora la natura sfrutta tale proprietà. Il falco pellegrino, per esempio, avendo un apparato visivo che guarda lateralmente, seguendo tale spirale può tenere la testa dritta (e non doverla ruotare di continuo in un senso e nell'altro) non perdendo di vista la preda e massimizzando la velocità d'attacco durante la l'attacco in picchiata di caccia.

Questa forma partorita dalla natura, peraltro scelta per svariati altri oggetti come le galassie, gli uragani, ecc.., è talmente armonica ed ipnotica dall'aver ispirato opere d'arte come quella dell'americano Frank Lloyd Wright, che ha progettato il museo Guggenheim di New York secondo la sua struttura. Ma già il grande Leonardo da Vinci ne restò ammaliato, immortalandola nell'opera Leda e il Cigno nei capelli raccolti, e ancora sottoforma di vortici in un'impressionante serie di schizzi catastrofistici ispirati al Diluvio. E lo stesso dio indù Shiva, danzante, ha in mano questa conchiglia come simbolo della Creazione.

Altri gusci come quelli delle chiocciole sia di mare che di terra, invece, esibiscono spirali più anguste che si attorcigliano nello spazio come quelle strette scale da arredamento che portano nelle mansarde.
Sempre per tale forma hanno optato molte piante per disporre i loro semi. Le squame delle pigne dell'abete, per esempio, sono disposte secondo spirali intrecciate, così come i gustosi semi che punteggiano il capolino di un girasole.

Le immagini mostrano l'intreccio di spirali che assemblano i semi di girasole nel suo capolino


La sequenza di Fibonacci

I segreti di questo straordinario mondo della "matemagica", che esibisce vere e proprie opere d'arte, sono sbalorditive sequenze numeriche, come si accorse più di otto secoli fa un grande matematico toscano di nome Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci.
Partendo dalla proliferazione di una coppia di conigli, egli si rese conto che la popolazione delle coppie cresceva secondo la seguente progressione numerica (che ovviamente prese il suo nome): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ... ecc. dove ogni numero a partire dal terzo è la somma dei due precedenti.

E il mondo naturale è stracolmo di tali numeri che utilizza per disporre le proprie configurazioni.
Facciamo qualche esempio cominciando dal regno floreale e proprio dalla ben nota margherita di campo, che spesso interroghiamo per dissipare i nostri tormenti sentimentali con la domanda: "m'ama o non m'ama"? La maggior parte di questi fiori ha 13, 21 o 34 petali, e a proposito del dilemma amoroso, quando la beccate con i numeri dispari e cominciate col "m'ama" l'esito sarà affermativo; quindi vi conviene sempre cominciare con questa domanda!

Poi ci sono i gigli che hanno 3 petali, i ranuncoli 5, i delphinia 8, i tageti 13, gli astri 21 e i girasoli che oscillano tra 34, 55, 89 o 144. Se vi cimentate nel conteggio considerate che qualche petalo potrebbe essere caduto, oppure la corolla potrebbe essere doppia (ma sempre multipla dei numeri di Fibonacci) come conseguenza delle tecniche agricole di lavorazione.

Nel girasole i semi sono disposti lungo spirali il cui numero dipende di solito dalle sue dimensioni. Nel caso più comune ci sono 34 spirali avvolte in senso orario o antiorario, e 55 avvolte nel senso opposto. Ma sono stati osservati girasoli con rapporti del numero di spirali 89/55, 144/89 e perfino 233/144.

Anche gli alberi non sono immuni da tali configurazioni. Le squame della pigna dell'abete sono disposte in due famiglie di spirali intrecciate, ed ogni famiglia contiene un numero di Fibonacci di squame.
E che dire dei frutti? La maggior parte degli ananas presenta sulla superficie 5, 8, 13 o 21 spirali via via più ripide di squame esagonali.

Phi, il Numero Aureo

Ma c'è di più. Oltre un millennio prima che Fibonacci facesse balzare fuori dal cilindro la sua "magica" sequenza numerica, i primi grandi pensatori erano in piena crisi filosofica per le anomale caratteristiche di alcuni numeri che, per questo, vennero definiti irrazionali. Senza entrare troppo nel dettaglio che esulerebbe dal nostro scopo, diciamo solo che questi utlimi non possono essere il quoziente di due numeri interi (in pratica non scaturiscono da una frazione e, quindi, tramite essa non si possono esprimere); ma, soprattutto, la loro rappresentazione decimale non termina mai e non è periodica. In sostanza sono numeri interminabili, incommensurabili o infiniti, e nel loro esserlo riescono pure a non ripetersi!

Il pi greco (p), pari al rapporto tra la circonferenza ed il diametro di un cerchio qualsiasi per un valore che parte da 3.14159..., è il più noto di questi numeri anche al grande pubblico. Meno famoso ma ancora più affascinante, invece, è phi (f), corrispondente ad un anonimo 1.6180339887. Eppure, esprime una relazione geometrica considerata talmente preziosa da essere definita sezione aurea o numero aureo, e da aver ispirato pensatori di tutte le discipline più di qualunque altro numero nella storia della matematica.

Il suo potere, poi, si è rafforzato quando nel diciassettesimo secolo l'astronomo polacco Giovanni Keplero si accorse del suo legame con la sequenza di Fibonacci: procedendo, infatti, lungo i numeri della sua successione, si trova che il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla (risultando ora in eccesso ora in difetto) intorno ad un numero al quale si avvicina sempre di più. E quel numero è proprio Phi, il Rapporto Aureo. Quindi la misteriosa sequenza numerica racchiude qualcosa di ancora più strabiliante che la natura sfrutta di continuo con grande disinvoltura.

Per esempio, a causa del fenomeno scientifico noto come fillotassi (disposizione delle foglie) le piante tendono a disporre i loro tronchi ed il loro fogliame secondo schemi regolari per cercare di massimizzare l'esposizione alla luce, alla pioggia e all'aria. E tali schemi seguono moti rotatori in quanto evitano che la pianta ombri le proprie fronde le une con le altre (vale anche per i frutti come le pigne o i semi; ecco perché la disposizione spiraliforme di questi ultimi come abbiamo visto in precedenza).

Qualche esempio? I tigli collocano le proprie foglie da due parti opposte corrispondenti ad un mezzo giro intorno al fusto (quoziente di fillotassi ½); il rovo, il faggio e il nocciolo dispongono il passaggio da una foglia all'altra con un terzo di giro (quoziente di fillotassi 1/3); il melo, alcune querce e l'albicocco 2/5 di giro, il pero e il salice piangente 3/8, ecc.. Le foglie, insomma, si succedono tutte lungo una stretta spirale chiamata vegetativa scandita dai numeri di Fibonacci, avanzando lungo una circonferenza secondo un angolo costante (noto come Angolo di Divergenza) prossimo a 137.5° e ancora legato al Rapporto Aureo! Infatti l'angolo maggiore risultante dalla divisione dell'angolo giro secondo il Rapporto Aureo misura 360°/ f, ovvero 222.5°. Quindi l'angolo minore in cui l'angolo giro è diviso è 360° – 222.5° cioè 137.5°: l'Angolo Aureo.
A livello ottico l'impressione che questa disposizione genera è quella di due spirali di senso opposto che si avvitano l'un l'altra così come esibisce il capolino del girasole, le spire delle pigne, e tanti altri organismi ancora.

Anche la corolla della rosa è collegata al rapporto aureo. Gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro) sono la parte decimale di semplici multipli di phi. Il primo petalo è a un 0.618esimo (la parte decimale di 1 x phi) di giro dal petalo 0; il secondo è a un 0.236esimo (la parte decimale di 2 x phi) dal petalo 1 e così via.

Ma perché accade tutto ciò?
Qualche secolo fa l'astronomo polacco Keplero si convinse che si trattava di pura efficienza: se posti secondo la cadenza degli Angoli Aurei i germogli risultano più fitti ed utilizzano lo spazio nel modo migliore. D'altro canto se l'Angolo di Divergenza avesse un'ampiezza di qualsiasi altro prodotto razionale dell'angolo giro, le foglie si allineerebbero o in modo da lasciare inutilizzata una grande quantità di spazio tra l'una e l'altra, o sovrapponendosi ostacolandosi a vicenda. Naturalmente è solo un'ipotesi, anche perché è giusto sottolineare che più che di regole si tratta di tendenze prevalenti, le cui eccezioni potrebbero invalidare ogni congettura.

Idem varrebbe per l'ingegno del Nautilo: poiché con l'età la creatura dal corpo molle cresce, diventa troppo grande per la camera ed amplia la casa secernendo nuovo materiale per la costruzione. Ma mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, cosicchè la forma del guscio resta immutata. In tal modo questo inconsapevole e geniale architetto della natura, pur ampliandola, trascorre tutta la vita nella stessa dimora in costante equilibrio.

In altri casi è una questione di avido sfruttamento degli spazi, come dimostra la forma esagonale dei nidi d'api, in assoluto la configurazione più efficiente per stipare cerchi in un piano.

E a questo punto sembra che cotanta efficienza valga anche per il mondo inorganico; avendo, infatti, la maggior parte dei cristalli di neve sei punte, essi tendono ad incastrarsi egregiamente ottimizzando lo spazio vuoto e agevolando la trasformazione del vapor acqueo in neve.

 

Le figure geometriche auree

Ma Aureo non è solo un numero o un angolo, bensì anche alcune figure geometriche. Il Rettangolo Aureo, per esempio, si ottiene quando i suoi lati, maggiore e minore, stanno in rapporto con f, e accade che è l'unico che consente, togliendo un quadrato corrispondente alla sua area, di ottenere un rettangolo simile al primo. Così facendo tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli padre e figlio, si trova che tutte passano per un punto, in modo che una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli converga nel suo intorno senza mai raggiungerlo (il matematico Clifford Pickover lo chiamò "l'Occhio di Dio").

E se si congiungono i punti in cui questo vortice di quadrati divide i lati secondo il Rapporto Aureo, si ottiene la famosa spirale logaritmica che si avvolge intorno all'"Occhio".

Il grafico illustra la relazione tra il Rettangolo Aureo e la Spirale Logaritmica. Stando i lati maggiore e minore del Rettangolo in rapporto con f, togliendo un quadrato corrispondente all'area del primo si può ottenere un rettangolo simile. Così facendo tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli padre e figlio, si trova che tutte passano per un punto, in modo che una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli converga nel suo intorno senza mai raggiungerlo (il matematico Clifford Pickover lo chiamò "l'Occhio di Dio").
E se si congiungono i punti in cui questo vortice di quadrati divide i lati secondo il Rapporto Aureo, si ottiene la famosa spirale logaritmica che si avvolge intorno all'"Occhio".

Idem vale per il Triangolo Aureo, un triangolo in cui il rapporto di lunghezza tra i lati uguali e la base è pari a f. Anche in questo caso continuando a bisecare gli angoli alla base si forma un vortice di triangoli sempre più piccoli i cui vertici, collegati, danno una curva logaritmica.
Il legame di phi esiste anche nell'ambito di figure piane come il Pentagramma, ottenuto collegando tramite diagonali tutti i vertici di un Pentagono. Quest'ultimo è la comune stella a cinque punte ognuna costituita da un triangolo isoscele dove il rapporto della lunghezza di uno dei lati con la base è uguale alla Sezione Aurea.

Se continuiamo all'infinito a inscrivere il Pentagramma all'interno del Pentagono, si può dimostrate che ogni segmento è minore del precedente di un fattore esattamente uguale al Rapporto Aureo, e che la diagonale e il lato del Pentagono sono incommensurabili, ovvero che il rapporto delle loro lunghezze non può essere espresso come rapporto di numeri interi.

Iscrivendo un Pentagramma (la comune stella a cinque punte) all'interno di un Pentagono, si può dimostrate che ogni segmento è minore del precedente di un fattore esattamente uguale al Rapporto Aureo, e che la diagonale e il lato del Pentagono sono incommensurabili, ovvero che il rapporto delle loro lunghezze non può essere espresso come rapporto di numeri interi.

Anche i poliedri regolari (quelli che possono essere inscritti in una sfera, ovvero i "solidi platonici" tetraedro, cubo, ottaedro, il dodecaedro, l'icosaedro) sono legati al Rapporto Aureo, essendo le facce costituite da figure piane; in particolare l'icosaedro (con 20 facce triangolari) e il dodecaedro (con dodici facce pentagonali). Nel primo i dodici vertici si possono dividere in tre gruppi di quattro, e i vertici di ciascuna tetrade si possono collocare in cima agli angoli di un Rettangolo Aureo. In egual modo i centri delle dodici facce pentagonali del dodecaedro si possono raggruppare quattro a quattro, e ciascuno di questi gruppi corrisponde ai vertici di un Rettangolo Aureo.

 

Matematica, storia e arte

È indubbio che il senso estetico umano provi un senso di piacere nell'ammirare forme che possiedono certe simmetrie, ovvero emanano una sorta di armonia inducendo un'estasi quasi mistica. E così nel Rinascimento il Rapporto Aureo sconfinò oltre il mondo matematico per approdare in quello dell'arte e dello studio dei fenomeni naturali.

Sebbene molti siano convinti che tale proporzione sia stata incorporata già in strutture antichissime come la Grande Piramide di Giza, il Serapeo del Tempio di Seti I o il Partenone di Atene, non sembrano esistere prove scientifiche inattaccabili a suffragio di tale tesi.
Di certo, però, sappiamo che il teologo e matematico toscano Luca Pacioli nel 1509 pubblicò a Venezia un trattato in tre volumi sulle proprietà del Rapporto Aureo chiamato Compendio de Divina Proportione ufficializzandone l'esistenza anche al mondo dei non matematici. Quindi è probabile che, da allora, numerosi artisti abbiamo provato a sfruttarne la sua efficacia visiva, ed anche acustica, nelle loro opere. Ma anche in questo caso l'affermazione rimane ambigua, perché spesso si riscontrano parametri figurativi che più che altro si avvicinano a questo numero, come per esempio le dimensioni del quadro di Salvador Dalì Il Sacramento dell'Ultima Cena del 1955, grande all'incirca 268 x 167 cm, peraltro abbellita di un enorme dodecaedro che fluttua sopra la tavola e la circonda.

Poi ci sono opere come la splendida tela de La Madonna di Ognissanti del pittore e architetto Giotto di Bondone, dove molti studi affermano che le figure centrali (rappresentati dalla Madonna e il Bambino) siano inscrivibili in Rettangoli Aurei, così come la Madonna di Rucellai (di Duccio di Buoninsegna) e la Madonna di Trinità di Cimabue, che però sono molto precedenti alla data ufficiale di diffusione del Rapporto Aureo al di fuori del mondo matematico, essendo state dipinte tra il 1200 e il 1300.

La matematica, insomma, sembra essere dotata di una dimensione estetica che comunica direttamente all'animo umano tramite la semplice contemplazione delle forme che cesella. Ma in fondo è una consapevolezza, magari inconscia, che già possediamo; non rimaniamo, forse, estasiati da fiori di vario colore o pietre pregiate al punto che le doniamo per esprimere i nostri sentimenti e le nostre emozioni? Quale gesto d'amore può essere più struggente del sacrificio di una rosa rossa o della luce immortale di un gioiello?

Ma ciò dischiude tutta un'altra serie di domande: questa "umanità" che trasuda dai numeri è stata fatta per essere contemplata da noi oppure ha un'esistenza indipendente? Dio è un matematico? Un geniale architetto? E perché profondere tanti sforzi estetici per cesellare parti di un mondo di cui spesso neppure ci accorgiamo?

Scritto da Sabrina Mugnos

Geologa, ha studiato e visitato decine di vulcani in giro per il mondo attraverso esplorazioni avventurose e talvolta estreme. Si occupa da tanti anni anche di astrobiologia e di Archeoastronomia. Il suo libro, I maya e il 2012, Indagine scientifica (Macro Edizioni), sta riscuotendo un grande successo in Italia e in diversi paesi stranieri. Impegnata in corsi, seminari e convegni a respiro internazionale, è spesso ospite di trasmissioni televisive e radiofoniche.
Per maggiori informazioni: www.sabrinamugnos.com.


 

Articolo tratto da Scienza e Conoscenza N. 41

Nuove scienze e antica saggezza per svelare i misteri della vita

 

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Sabrina Mugnos

Sabrina Mugnos si è laureata in geologia con indirizzo geochimico-vulcanologico presso l’Università degli studi di Pisa. Studiosa di Astrobiologia (è membro del Seti - Italia e del Centro Studi di Esobiologia di Milano) e di Archeoastronomia, tiene corsi, conferenze e convegni a respiro internazionale. Giornalista freelance e divulgatrice scientifica, è spesso ospite di diverse trasmissioni televisive e radiofoniche.

 

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